Flotabilidad

Flotabilidad ( / b Ɔɪ del ə n s i , b U j ə n s i / ), [1] [2] o empuje hacia arriba , es una hacia arriba la fuerza ejercida por un fluido que se opone al pesode un objeto parcial o totalmente sumergido. En una columna de fluido, la presión aumenta con la profundidad como resultado del peso del fluido suprayacente. Por tanto, la presión en la parte inferior de una columna de fluido es mayor que en la parte superior de la columna. De manera similar, la presión en la parte inferior de un objeto sumergido en un fluido es mayor que en la parte superior del objeto. La diferencia de presión da como resultado una fuerza ascendente neta sobre el objeto. La magnitud de la fuerza es proporcional a la diferencia de presión y (como se explica por el principio de Arquímedes ) es equivalente al peso del fluido que de otro modo ocuparía el volumen sumergido del objeto, es decir, el fluido desplazado .

Las fuerzas que actúan en la flotabilidad. El objeto flota en reposo porque la fuerza de flotación hacia arriba es igual a la fuerza de gravedad hacia abajo .

Por ello, un objeto cuya densidad media es mayor que la del fluido en el que está sumergido tiende a hundirse. Si el objeto es menos denso que el líquido, la fuerza puede mantenerlo a flote. Esto puede ocurrir solo en un sistema de referencia no inercial , que tiene un campo gravitacional o se acelera debido a una fuerza distinta de la gravedad que define una dirección "hacia abajo". [3]

La flotabilidad también se aplica a las mezclas de fluidos y es la fuerza impulsora más común de las corrientes de convección . En estos casos, el modelo matemático se modifica para aplicarlo al continuo , pero los principios siguen siendo los mismos. Ejemplos de flujos impulsados ​​por flotabilidad incluyen la separación espontánea de aire y agua o aceite y agua.

El centro de flotabilidad de un objeto es el centro de gravedad del volumen de fluido desplazado.

Una moneda metálica (una antigua moneda de una libra esterlina ) flota en mercurio debido a la fuerza de flotación que ejerce sobre ella y parece flotar más alto debido a la tensión superficial del mercurio.
El experimento de la bola de Galileo, que muestra la diferente flotabilidad de un mismo objeto, dependiendo del medio que lo rodea. La bola tiene cierta flotabilidad en el agua , pero una vez que se agrega etanol (que es menos denso que el agua), reduce la densidad del medio, haciendo que la bola se hunda más abajo (reduciendo su flotabilidad).

El principio de Arquímedes lleva el nombre de Arquímedes de Siracusa , quien descubrió esta ley por primera vez en el 212 a. C. [4] Para objetos, flotantes y hundidos, y en gases y líquidos (es decir, un fluido ), el principio de Arquímedes puede expresarse así en términos de fuerzas:

Cualquier objeto, total o parcialmente sumergido en un fluido, es impulsado por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

—Con las aclaraciones de que para un objeto hundido el volumen de fluido desplazado es el volumen del objeto, y para un objeto flotante sobre un líquido, el peso del líquido desplazado es el peso del objeto. [5]

Más concisamente: fuerza de flotación = peso del fluido desplazado.

El principio de Arquímedes no considera la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo, [6] pero esta fuerza adicional modifica solo la cantidad de líquido desplazado y la distribución espacial del desplazamiento , por lo que se mantiene el principio de que flotabilidad = peso del líquido desplazado válido.

El peso del fluido desplazado es directamente proporcional al volumen del fluido desplazado (si el fluido circundante es de densidad uniforme). En términos simples, el principio establece que la fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del fluido desplazado por el objeto, o la densidad del fluido multiplicada por el volumen sumergido multiplicado por la aceleración gravitacional, g. Así, entre los objetos completamente sumergidos de igual masa, los objetos de mayor volumen tienen mayor flotabilidad. Esto también se conoce como upthrust.

Suponga que el peso de una roca se mide como 10 newtons cuando está suspendida por una cuerda en el vacío con la gravedad actuando sobre ella. Suponga que cuando la roca se sumerge en el agua, desplaza agua con un peso de 3 newtons. La fuerza que ejerce sobre la cuerda de la que cuelga sería de 10 newton menos los 3 newton de la fuerza de flotación: 10 - 3 = 7 newton. La flotabilidad reduce el peso aparente de los objetos que se han hundido completamente en el fondo del mar. Generalmente es más fácil levantar un objeto a través del agua que sacarlo del agua.

Suponiendo que el principio de Arquímedes se reformule de la siguiente manera,

luego insertado en el cociente de pesos, que ha sido ampliado por el volumen mutuo

produce la siguiente fórmula. La densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin medir ningún volumen:

(Esta fórmula se utiliza, por ejemplo, para describir el principio de medición de un dasímetro y del pesaje hidrostático ).

Ejemplo: si arroja madera al agua, la flotabilidad la mantendrá a flote.

Ejemplo: un globo de helio en un automóvil en movimiento. Durante un período de velocidad creciente, la masa de aire dentro del automóvil se mueve en la dirección opuesta a la aceleración del automóvil (es decir, hacia atrás). El globo también se tira de esta manera. Sin embargo, debido a que el globo flota en relación con el aire, termina siendo empujado "fuera del camino" y realmente se desviará en la misma dirección que la aceleración del automóvil (es decir, hacia adelante). Si el coche reduce la velocidad, el mismo globo comenzará a desplazarse hacia atrás. Por la misma razón, a medida que el automóvil da la vuelta a una curva, el globo se desplazará hacia el interior de la curva.

La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:

donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido, y σ es el tensor de tensión de Cauchy . En este caso, el tensor de tensión es proporcional al tensor de identidad:

Aquí δ ij es el delta de Kronecker . Usando esto, la ecuación anterior se convierte en:

Suponiendo que el campo de fuerza exterior es conservador, es decir, se puede escribir como el gradiente negativo de alguna función con valores escalares:

Luego:

Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservador exterior aplicado. Deje que el eje z apunte hacia abajo. En este caso, el campo es la gravedad, entonces Φ = - ρ f gz donde g es la aceleración gravitacional, ρ f es la densidad de masa del fluido. Tomando la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es

Entonces, la presión aumenta con la profundidad debajo de la superficie de un líquido, ya que z denota la distancia desde la superficie del líquido hacia el interior. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá diferentes presiones en su parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión provoca la fuerza de flotación ascendente.

La fuerza de flotabilidad ejercida sobre un cuerpo ahora se puede calcular fácilmente, ya que se conoce la presión interna del fluido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo se puede calcular integrando el tensor de tensión sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido:

La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss :

donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir, el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza sobre la parte del cuerpo que está fuera de él.

La magnitud de la fuerza de flotabilidad se puede apreciar un poco más a partir del siguiente argumento. Considere cualquier objeto de forma y volumen arbitrarios V rodeado por un líquido. La fuerza que el líquido ejerce sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en una dirección opuesta a la fuerza gravitacional, que es de magnitud:

donde ρ f es la densidad del fluido, V disp es el volumen del cuerpo de líquido desplazado y g es la aceleración gravitacional en la ubicación en cuestión.

Si este volumen de líquido es reemplazado por un cuerpo sólido de exactamente la misma forma, la fuerza que ejerce el líquido sobre él debe ser exactamente la misma que la anterior. En otras palabras, la "fuerza de flotabilidad" en un cuerpo sumergido se dirige en la dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a

Aunque la derivación anterior del principio de Arquímedes es correcta, un artículo reciente del físico brasileño Fabio MS Lima aporta un enfoque más general para la evaluación de la fuerza de flotación ejercida por cualquier fluido (incluso no homogéneo) sobre un cuerpo con forma arbitraria. [7] Curiosamente, este método conduce a la predicción de que la fuerza de flotación ejercida sobre un bloque rectangular que toca el fondo de un contenedor apunta hacia abajo. De hecho, esta fuerza de flotación descendente se ha confirmado experimentalmente. [8]

La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero si se trata de una situación de estática de fluidos en la que el principio de Arquímedes es aplicable y, por lo tanto, es la suma de la fuerza de flotabilidad y el peso del objeto.

Si la flotabilidad de un objeto (desenfrenado y sin motor) excede su peso, tiende a elevarse. Un objeto cuyo peso excede su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza ascendente sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no puede realizarse únicamente por el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica de un objeto que implica flotabilidad. Una vez que se hunde completamente hasta el piso del fluido o sube a la superficie y se asienta, el principio de Arquímedes se puede aplicar solo. Para un objeto flotante, solo el volumen sumergido desplaza el agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza el agua y habrá una fuerza adicional de reacción del piso sólido.

Para que el principio de Arquímedes se utilice solo, el objeto en cuestión debe estar en equilibrio (la suma de las fuerzas sobre el objeto debe ser cero), por lo tanto;

y por lo tanto

mostrando que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante y el volumen de fluido que desplazará es independiente del campo gravitacional independientemente de la ubicación geográfica.

( Nota: si el fluido en cuestión es agua de mar , no tendrá la misma densidad ( ρ ) en todos los lugares, ya que la densidad depende de la temperatura y la salinidad . Por esta razón, un barco puede mostrar una línea Plimsoll ).

Puede darse el caso de que entren en juego otras fuerzas además de la flotabilidad y la gravedad. Este es el caso si el objeto está restringido o si el objeto se hunde hasta el piso sólido. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de restricción de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse eventualmente tendrá una fuerza normal de restricción N ejercida sobre él por el piso sólido. La fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y es cómo se define el peso aparente.

Si el objeto flotara de otra manera, la tensión para sujetarlo completamente sumergido es:

Cuando un objeto que se hunde se asienta sobre el suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:

Otra posible fórmula para calcular la flotabilidad de un objeto es hallar el peso aparente de ese objeto en particular en el aire (calculado en Newtons) y el peso aparente de ese objeto en el agua (en Newtons). Para encontrar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto cuando está en el aire, utilizando esta información en particular, se aplica esta fórmula:

Fuerza de flotabilidad = peso del objeto en el espacio vacío - peso del objeto sumergido en líquido

El resultado final se mediría en Newtons.

La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la mayoría de los sólidos y líquidos. Por esta razón, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se desprecia para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire porque el error suele ser insignificante (normalmente menos del 0,1%, excepto para objetos de densidad media muy baja, como un globo o espuma ligera).

Modelo simplificado

Distribución de presión en un cubo sumergido
Fuerzas sobre un cubo sumergido
Aproximación de un volumen arbitrario como un grupo de cubos

Una explicación simplificada de la integración de la presión sobre el área de contacto se puede establecer de la siguiente manera:

Considere un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior horizontal.

Los lados son idénticos en área y tienen la misma distribución de profundidad, por lo que también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicularmente al plano de la superficie de cada lado.

Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales y la fuerza resultante es cero.

La fuerza hacia arriba sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie del fondo horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie del fondo.

De manera similar, la fuerza hacia abajo sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.

Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual al peso de el fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.

Esto significa que la fuerza hacia arriba resultante sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabría en el volumen del cubo, y la fuerza hacia abajo sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.

Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.

Si dos cubos se colocan uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y fuerzas resultantes en los lados o partes de los mismos en contacto se equilibran y pueden ignorarse, ya que las superficies de contacto son iguales en forma, tamaño y distribución de presión. por lo tanto, la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotaciones de cada cubo. Esta analogía se puede extender a un número arbitrario de cubos.

Un objeto de cualquier forma se puede aproximar como un grupo de cubos en contacto entre sí y, a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.

Las superficies en ángulo no anulan la analogía, ya que la fuerza resultante se puede dividir en componentes ortogonales y cada uno se puede tratar de la misma manera.

Estabilidad estática

Ilustración de la estabilidad de los buques pesados ​​en el fondo (izquierda) y en la parte superior (derecha) con respecto a las posiciones de sus centros de flotabilidad (CB) y gravedad (CG)

Un objeto flotante es estable si tiende a restablecerse a una posición de equilibrio después de un pequeño desplazamiento. Por ejemplo, los objetos flotantes generalmente tendrán estabilidad vertical, ya que si el objeto se empuja ligeramente hacia abajo, esto creará una mayor fuerza de flotabilidad que, desequilibrada por la fuerza del peso, empujará el objeto hacia arriba.

La estabilidad rotacional es de gran importancia para los buques flotantes. Dado un pequeño desplazamiento angular, la embarcación puede volver a su posición original (estable), alejarse de su posición original (inestable) o permanecer donde está (neutral).

La estabilidad rotacional depende de las líneas de acción relativas de las fuerzas sobre un objeto. La fuerza de flotabilidad hacia arriba sobre un objeto actúa a través del centro de flotabilidad, que es el centroide del volumen de fluido desplazado. La fuerza del peso sobre el objeto actúa a través de su centro de gravedad . Un objeto flotante será estable si el centro de gravedad está por debajo del centro de flotabilidad porque cualquier desplazamiento angular producirá un " momento adrizante ".

La estabilidad de un objeto flotante en la superficie es más compleja y puede permanecer estable incluso si el centro de gravedad está por encima del centro de flotabilidad, siempre que cuando se perturbe de la posición de equilibrio, el centro de flotabilidad se mueva más hacia el mismo lado. que el centro de gravedad se mueva, proporcionando así un momento adrizante positivo. Si esto ocurre, se dice que el objeto flotante tiene una altura metacéntrica positiva . Esta situación suele ser válida para un rango de ángulos de escora, más allá de los cuales el centro de flotabilidad no se mueve lo suficiente para proporcionar un momento adrizante positivo y el objeto se vuelve inestable. Es posible cambiar de positivo a negativo o viceversa más de una vez durante una perturbación de escora, y muchas formas son estables en más de una posición.

La densidad de la atmósfera depende de la altitud. A medida que una aeronave se eleva en la atmósfera, su flotabilidad disminuye a medida que disminuye la densidad del aire circundante. Por el contrario, cuando un submarino expulsa agua de sus tanques de flotabilidad, aumenta porque su volumen es constante (el volumen de agua que desplaza si está completamente sumergido) mientras que su masa disminuye.

Objetos comprimibles

A medida que un objeto flotante se eleva o cae, las fuerzas externas a él cambian y, como todos los objetos son comprimibles en una medida u otra, también lo hace el volumen del objeto. La flotabilidad depende del volumen, por lo que la flotabilidad de un objeto se reduce si se comprime y aumenta si se expande.

Si un objeto en equilibrio tiene una compresibilidad menor que la del fluido circundante, el equilibrio del objeto es estable y permanece en reposo. Sin embargo, si su compresibilidad es mayor, su equilibrio es entonces inestable y se eleva y se expande ante la menor perturbación hacia arriba, o cae y se comprime ante la menor perturbación hacia abajo.

Submarinos

Los submarinos se elevan y se sumergen llenando grandes tanques de lastre con agua de mar. Para bucear, los tanques se abren para permitir que el aire salga por la parte superior de los tanques, mientras que el agua fluye desde el fondo. Una vez que se ha equilibrado el peso para que la densidad total del submarino sea igual al agua que lo rodea, tiene flotabilidad neutra y permanecerá a esa profundidad. La mayoría de los submarinos militares operan con una flotabilidad ligeramente negativa y mantienen la profundidad usando la "elevación" de los estabilizadores con movimiento hacia adelante. [ cita requerida ]

Globos

La altura a la que se eleva un globo tiende a ser estable. A medida que un globo se eleva, tiende a aumentar de volumen al reducir la presión atmosférica, pero el globo en sí no se expande tanto como el aire sobre el que viaja. La densidad media del globo disminuye menos que la del aire circundante. Se reduce el peso del aire desplazado. Un globo en ascenso deja de ascender cuando él y el aire desplazado tienen el mismo peso. Del mismo modo, un globo que se hunde tiende a dejar de hundirse.

Diversos

Los buzos submarinos son un ejemplo común del problema de la flotabilidad inestable debido a la compresibilidad. El buceador generalmente usa un traje de exposición que se basa en espacios llenos de gas para el aislamiento, y también puede usar un compensador de flotabilidad , que es una bolsa de flotabilidad de volumen variable que se infla para aumentar la flotabilidad y se desinfla para disminuir la flotabilidad. La condición deseada suele ser la flotabilidad neutra cuando el buceador nada en medio del agua, y esta condición es inestable, por lo que el buceador realiza constantemente ajustes finos mediante el control del volumen pulmonar y tiene que ajustar el contenido del compensador de flotabilidad si la profundidad varía.

Columna de densidad de líquidos y sólidos: aceite de bebé , alcohol isopropílico (con colorante rojo ), aceite vegetal , cera , agua (con colorante azul) y aluminio.

Si el peso de un objeto es menor que el peso del fluido desplazado cuando está completamente sumergido, entonces el objeto tiene una densidad promedio menor que el fluido y cuando está completamente sumergido experimentará una fuerza de flotación mayor que su propio peso. [9] Si el fluido tiene una superficie, como agua en un lago o en el mar, el objeto flotará y se asentará a un nivel donde desplaza el mismo peso de fluido que el peso del objeto. Si el objeto se sumerge en el fluido, como un submarino sumergido o aire en un globo, tenderá a elevarse. Si el objeto tiene exactamente la misma densidad que el fluido, entonces su flotabilidad es igual a su peso. Permanecerá sumergido en el fluido, pero no se hundirá ni flotará, aunque una perturbación en cualquier dirección hará que se desvíe de su posición. Un objeto con una densidad media más alta que el fluido nunca experimentará más flotabilidad que peso y se hundirá. Un barco flotará aunque esté hecho de acero (que es mucho más denso que el agua), porque encierra un volumen de aire (que es mucho menos denso que el agua), y la forma resultante tiene una densidad media menor que la del agua. el agua.

  • Atmósfera de la Tierra , también conocida como Aire - Capa de gas que rodea la Tierra.
  • Paradoja de Arquímedes
  • Boya  : estructura o dispositivo flotante
  • Frecuencia Brunt – Väisälä  : la frecuencia angular a la que un paquete desplazado verticalmente oscilará dentro de un entorno estáticamente estable.
  • Compensador de flotabilidad (buceo)  : equipo de buceo para controlar la flotabilidad mediante el ajuste del volumen
  • Compensador de flotabilidad (aviación)
  • Buzo cartesiano  - Experimento científico clásico que demuestra el principio de Arquímedes y la ley de los gases ideales
  • Dasimetro
  • Sistema de ponderación de buceo  : lastre que llevan los buzos submarinos y el equipo de buceo para contrarrestar el exceso de flotabilidad.
  • Fluido  : sustancia que se deforma continuamente bajo un esfuerzo cortante aplicado, incluidos líquidos y gases.
  • Hidrostática  : rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en reposo.
  • Termómetro Galileo  : termómetro que contiene varios recipientes de vidrio de densidad variable
  • Casco (barco)
  • Hidrómetro
  • Pesaje hidrostático  - امك حلوه
  • Más liviano que el aire
  • Arquitectura naval  : disciplina de la ingeniería que se ocupa del diseño y la construcción de embarcaciones marinas.
  • Línea plimsoll
  • Pontón
  • Arenas movedizas  - Característica geológica
  • Digitación de sal  : un proceso de mezcla que ocurre cuando el agua relativamente tibia y salada se superpone a un agua relativamente más fría y fresca.
  • Submarino  - Embarcación capaz de operar de forma independiente bajo el agua.
  • Vejiga natatoria  : órgano lleno de gas que contribuye a la capacidad de un pez para controlar su flotabilidad.
  • Empuje  - Fuerza de reacción

  1. ^ Wells, John C. (2008), Diccionario de pronunciación de Longman (3.a ed.), Longman, ISBN 9781405881180
  2. ^ Roach, Peter (2011), Diccionario de pronunciación del inglés de Cambridge (18a ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 9780521152532
  3. ^ Nota: En ausencia de tensión superficial, la masa de fluido desplazada es igual al volumen sumergido multiplicado por la densidad del fluido. Una alta tensión superficial repulsiva hará que el cuerpo flote más alto de lo esperado, aunque se desplazará el mismo volumen total, pero a una mayor distancia del objeto. Cuando haya dudas sobre el significado de "volumen de líquido desplazado", esto debe interpretarse como el desbordamiento de un recipiente lleno cuando el objeto flota en él, o como el volumen del objeto por debajo del nivel medio del líquido.
  4. ^ Acott, Chris (1999). "Los buceadores" Law-ers ": Un breve resumen de sus vidas" . Revista de la Sociedad de Medicina Subacuática del Pacífico Sur . 29 (1). ISSN  0813-1988 . OCLC  16986801 . Archivado desde el original el 2 de abril de 2011 . Consultado el 13 de junio de 2009 ..
  5. ^ Pickover, Clifford A. (2008). Arquímedes a Hawking . Oxford University Press EE. UU. pag. 41 . ISBN 9780195336115.
  6. ^ "Agrupación de flotadores en una onda estacionaria: los efectos de capilaridad hacen que las partículas hidrofílicas o hidrofóbicas se congreguen en puntos específicos de una onda" (PDF) . 23 de junio de 2005. Archivado (PDF) desde el original el 21 de julio de 2011.
  7. ^ Lima, Fábio MS (22 de enero de 2012). "Uso de integrales de superficie para comprobar la ley de flotabilidad de Arquímedes" . Revista europea de física . 33 (1): 101. arXiv : 1110.5264 . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 33/1/009 . Consultado el 8 de abril de 2021 .
  8. ^ Lima, Fábio MS (11 de mayo de 2014). "Un experimento de fuerza flotante hacia abajo" . Revista Brasileira de Ensino de Fisica . 36 (2): 2309. doi : 10.1590 / S1806-11172014000200009 . Consultado el 8 de abril de 2021 .
  9. ^ Pickover, Clifford A. (2008). Arquímedes a Hawking . Oxford University Press EE. UU. pag. 42 . ISBN 9780195336115.

  • Caer en el agua
  • WH Besant (1889) Hidrostática elemental de Google Books .
  • Definición de flotabilidad de la NASA